为什么最小作用量原理不受坐标系变换的影响
为什么最小作用量原理不受坐标系变换的影响
最小作用量原理（或哈密顿原理）是力学中的一个基本原理，它表明一个物理系统将会选择一条使作用量（一个描述物理系统运动的标量）达到最小的路径来进行运动。
这个原理不受坐标系变换的影响，主要是因为作用量是一个标量，而标量在坐标变换下保持不变。无论你如何变换坐标系，物理系统的运动路径以及相应的作用量都不会改变。这是因为物理法则应当是独立于观察者的选择的，换句话说，无论观察者如何选择参考系，物理规律都应当是相同的，这就是所谓的协变性或不变性原理。
因此，最小作用量原理是符合这种不变性原理的，它在任何坐标系下都保持不变，不受坐标系变换的影响。
感谢提供了标量的视角。但是众所周知，最小作用量原理下，物体运动路径有多个可能的方式。如何保证在坐标变换之后，这些路径或者说“解”可以一一对应
这是因为最小作用量原理本质上是一个变分原理，它给出的是一组欧拉-拉格朗日方程，这些方程是二阶微分方程，因此每个物理系统的运动状态需要两个初始条件（位置和速度）来完全确定。当坐标系变换时，物理系统的初始条件也会随之变化，但是每一条可能的路径或解仍然会一一对应。换句话说，每一条在原坐标系中的解在新坐标系中也有且只有一条对应的解。
这也可以从拉格朗日方程的形式看出。拉格朗日方程是关于广义坐标和广义速度的函数，当坐标系变换时，广义坐标和广义速度也会随之变化，但是拉格朗日方程的形式保持不变。因此，无论如何变换坐标系，解的一一对应性都是保证的。
谢谢，我明白了最小作用量原理给出的结果是二阶微分方程，并不直接决定系统运动状态（还取决于系统初始状态）。
那么，为什么可以保证在给定相同初始状态时，代入不同坐标系下的的微分方程，会得到相同的解？
这是因为物理定律在坐标变换下是不变的，这是一个基本的物理原理。换句话说，物理现象不应该依赖于我们选择的坐标系。
当我们做坐标变换时，我们实际上是在改变我们描述物理现象的“语言”。但是，无论我们用什么语言来描述，物理现象本身是不会改变的。因此，给定相同的初始条件，无论我们在哪个坐标系下解微分方程，我们应该得到相同的解。
具体来说，当我们做坐标变换时，微分方程会变形，但是解的性质（例如解的存在性和唯一性）是不变的。这是因为微分方程描述的是物理现象的本质，而这个本质在坐标变换下是不变的。因此，给定相同的初始条件，在不同的坐标系下解微分方程应该得到相同的解。
我理解在物理世界他们“应该”有相同的解，可以在数学上理解这个原因吗
在数学上，这是因为在做坐标变换时，微分方程也会相应地进行变换。具体来说，如果我们有一个微分方程，描述了物理系统在某个坐标系下的运动。当我们改变坐标系时，微分方程也会变形，但是这个变形是通过坐标变换的雅各比矩阵来控制的，这个雅各比矩阵描述了坐标变换的线性近似。
因此，虽然在新的坐标系下，微分方程的形式可能看起来完全不同，但是它实际上仍然描述了相同的物理现象。通过雅各比矩阵，我们可以将新坐标系下的解转换回原坐标系，得到的解应该与原坐标系下的解完全一致。
这就是为什么在坐标变换下，给定相同的初始条件，微分方程的解应该是相同的。这种性质在数学上被称为微分方程的不变性或者协变性。
对这种变换是否有什么限制？还是可以是任意的坐标变换
在物理中，通常使用的坐标变换是光滑的（即连续且可微的），并且在变换后的坐标系中，物理定律仍然保持其形式不变。这种坐标变换被称为对称变换，比如旋转、平移和标度变换等。
但是并不是所有的坐标变换都是允许的。例如，如果一个坐标变换破坏了物理定律的形式不变性，那么这样的坐标变换就是不允许的。比如，如果一个坐标变换使得物理定律在新的坐标系中无法定义，那么这样的坐标变换就是不允许的。
总的来说，允许的坐标变换应该使得物理定律在新的坐标系中保持其形式不变，且坐标变换应该是光滑的。
能否给出 欧拉拉格朗日 的推导过程
是的，欧拉-拉格朗日方程可以从最小作用量原理推导出来。以下是推导过程：
首先，假设我们有一个物理系统，其运动由拉格朗日函数L描述，L是关于广义坐标q和它们的时间导数q'的函数，即L=L(q,q',t)，其中t是时间。
作用量S是拉格朗日函数L在整个运动过程中的积分，即：
S = ∫L(q,q',t) dt
根据最小作用量原理，作用量S应当在真实的运动过程中取得极值。极值的条件是S对于微小的变动δq保持不变，即δS = 0。这里δq是广义坐标q的微小变动。
将S的表达式代入δS = 0，我们可以得到：
0 = ∫[∂L/∂q - d(∂L/∂q')/dt] δq dt
由于上述等式对任何微小变动δq都成立，所以括号中的部分必须等于零。这就得到了欧拉-拉格朗日方程：
∂L/∂q - d(∂L/∂q')/dt = 0
以上就是欧拉-拉格朗日方程的推导过程。
将S的表达式代入δS = 0，我们可以得到：
0 = ∫[∂L/∂q - d(∂L/∂q')/dt] δq dt
这部分拓展一下
好的，这里的推导使用了变分法，具体过程如下：
首先，我们考虑拉格朗日量L对于微小的变动δq和δq'的变化，可以展开为：
δL = ∂L/∂q δq + ∂L/∂q' δq'
我们将这个结果代入作用量S的微小变动δS中：
δS = ∫ δL dt
= ∫ [∂L/∂q δq + ∂L/∂q' δq'] dt
然后，我们利用分部积分法，将第二项进行处理。注意到d(∂L/∂q' δq) = δq' d(∂L/∂q') + ∂L/∂q' dδq，因此：
∫ ∂L/∂q' δq' dt = ∫ d(∂L/∂q' δq) dt - ∫ ∂L/∂q' dδq dt
= ∂L/∂q' δq |(两端) - ∫ ∂L/∂q' dδq dt
其中“两端”表示在积分的起始和结束点取值。因为在这两点上q的值是固定的，δq=0，所以这一项为0。
将上述结果代入δS的表达式，我们得到：
δS = ∫∂L/∂q δq dt - ∫ ∂L/∂q' dδq dt
= ∫ [∂L/∂q - d(∂L/∂q')/dt] δq dt
因为δS = 0，所以我们有：
∫ [∂L/∂q - d(∂L/∂q')/dt] δq dt = 0
由于这个等式对任何δq都成立，所以我们得到欧拉-拉格朗日方程：
∂L/∂q - d(∂L/∂q')/dt = 0