图片里面两个棍子通过铰链相连，棍子末端坐标 (x,y)与两个夹角(\alpha, \beta)的正逆关系

对于这个系统，可以使用反向运动学来确定末端位置 ((x, y)) 与两个角度 (\alpha, \beta) 的关系。

假设两个棍子的长度分别为 (d_1) 和 (d_2)，它们通过铰链连接。目标是确定 (\alpha) 和 (\beta) 如何影响末端点的坐标 ((x, y))。

顺向关系

1. 计算第一杆末端的位置：
   [
   (x_1, y_1) = (d_1 \cos \alpha, d_1 \sin \alpha)
   ]

2. 计算第二杆末端的位置（即最终位置）：
   [
   x = x_1 + d_2 \cos(\alpha + \beta)
   ]
   [
   y = y_1 + d_2 \sin(\alpha + \beta)
   ]

逆向关系

给定末端位置 ((x, y))，可以通过以下步骤计算夹角 (\alpha) 和 (\beta)：

1. 计算到原点的直线距离：
   [
   r = \sqrt{x^2 + y^2}
   ]

2. 使用余弦定理找到 (\beta)：
   [
   \beta = \cos^{-1} \left( \frac{r^2 - d_1^2 - d_2^2}{2 d_1 d_2} \right)
   ]

3. 计算中间角度 (\gamma)：
   [
   \gamma = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)
   ]

4. 计算 (\alpha) 使用余弦定理：
   [
   \alpha = \gamma - \tan^{-1}\left(\frac{d_2 \sin \beta}{d_1 + d_2 \cos \beta}\right)
   ]

这些公式可以用于从两个角度推导该系统的运动学顺序和逆序关系。注意在计算逆向过程时，需要确保问题的存在解，比如 (\beta) 解的存在需要满足 (|r| \leq d_1 + d_2)。